Show all supporting work on scratch paper. On the AP Exam, Section I is split into a no-calculator and a calculator-allowed part, each question below is labeled accordingly.请在草稿纸上写出所有辅助步骤。在 AP 考试中，第一部分分为禁用计算器和允许使用计算器两个小节，每道题均已标注。
Q1EASY2.1 Average Rate of Change2.1 平均变化率No Calculator
The average rate of change of $f(x)=x^{2}+2x$ on $[1,3]$ is$f(x)=x^{2}+2x$ 在 $[1,3]$ 上的平均变化率为
The graph of $f$ consists of two line segments meeting at a sharp corner at $x=3$. Which statement about $f'$ is true?$f$ 的图像由两段折线组成，在 $x=3$ 处形成尖角。关于 $f'$ 的哪项叙述是正确的？
(A)$f'(3)$ exists and equals zero.$f'(3)$ 存在且等于零。
(B)$f'$ has a jump at $x=3$; $f'(3)$ does not exist.$f'$ 在 $x=3$ 处有跳跃间断，$f'(3)$ 不存在。
(C)$f$ is not continuous at $x=3$.$f$ 在 $x=3$ 处不连续。
(D)$f'$ is constant on $(1,5)$.$f'$ 在 $(1,5)$ 上为常数。
Let $f(x)=x\,e^{-x}$. The value of $x>0$ at which the tangent line to $y=f(x)$ is horizontal is closest to设 $f(x)=x\,e^{-x}$，使 $y=f(x)$ 的切线为水平线的 $x>0$ 的值最接近
Consider $f(x)=x^{2/3}$. Which statement about $f$ at $x=0$ is true?设 $f(x)=x^{2/3}$，关于 $f$ 在 $x=0$ 处的哪项叙述是正确的？
(A)$f$ is differentiable at $x=0$ with $f'(0)=0$.$f$ 在 $x=0$ 处可微，且 $f'(0)=0$。
(B)$f$ has a vertical tangent at $x=0$: the one-sided limits of $f'$ are both $+\infty$.$f$ 在 $x=0$ 处有竖直切线：$f'$ 的左右极限均为 $+\infty$。
(C)$f$ has a cusp at $x=0$: $f$ is continuous there, but the one-sided limits of $f'$ at $0$ are infinite with opposite signs.$f$ 在 $x=0$ 处有尖点：$f$ 在该点连续，但 $f'$ 在 $0$ 处的左右极限为符号相反的无穷大。
(D)$f$ is not continuous at $x=0$.$f$ 在 $x=0$ 处不连续。
Free-response answers require complete setup: derivative rules stated, clear notation, and units for contextual problems. Tangent-line equations should be in point-slope or slope-intercept form.自由回答题须完整列出解题步骤：注明所用求导法则、书写规范，实际问题须标注单位。切线方程应写成点斜式或斜截式。
A particle moves along the $x$-axis with position $s(t)=t^{3}-9t^{2}+15t+4$ for $t\ge 0$ (seconds, meters).质点沿 $x$ 轴运动，位置函数为 $s(t)=t^{3}-9t^{2}+15t+4$，$t\ge 0$（单位：秒，米）。
(a)Find the velocity $v(t)$ and acceleration $a(t)$.求速度 $v(t)$ 和加速度 $a(t)$。
(b)Find all times $t\ge 0$ when the particle is at rest.求所有使质点静止的时刻 $t\ge 0$。
(c)Determine the intervals on which the particle is moving right, and those on which it is moving left. Justify.确定质点向右运动和向左运动的时间区间，并说明理由。
(d)At $t=2$, is the particle speeding up or slowing down? Justify using the signs of $v$ and $a$.在 $t=2$ 时，质点是在加速还是在减速？用 $v$ 和 $a$ 的符号说明理由。
Let $f(x)=x^{3}+px^{2}+qx$.设 $f(x)=x^{3}+px^{2}+qx$。
(a)Find $f'(x)$ in terms of $p,q$.用 $p,q$ 表示 $f'(x)$。
(b)The graph of $y=f(x)$ passes through $(1,2)$ with horizontal tangent at $x=1$. Set up and solve a system for $p$ and $q$.$y=f(x)$ 的图像过点 $(1,2)$，且在 $x=1$ 处有水平切线。建立并求解关于 $p$ 和 $q$ 的方程组。
(c)Using the values from (b), find the equation of the tangent line at $x=-1$.使用 (b) 中的值，求在 $x=-1$ 处的切线方程。
(d)Find all $x$ where the tangent line to $y=f(x)$ has slope $6$.求所有使 $y=f(x)$ 的切线斜率为 $6$ 的 $x$ 值。