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Chapter 3 第三章
Composite, Implicit & Inverse Functions 复合、隐函数与反函数 AP-Style Practice Questions AP 风格练习题
Legend 图例 ▾ EASY MEDIUM HARD
Topics 3.1-3.6 考点 3.1 至 3.6 AB
Name: 姓名： Period: 课节：
PART I Topics 3.1-3.6 考点 3.1 至 3.6
Multiple Choice Questions 选择题 Show all supporting work on scratch paper. On the AP Exam, Section I is split into a no-calculator and a calculator-allowed part, each question below is labeled accordingly. 请在草稿纸上写出所有辅助步骤。在 AP 考试中，第一部分分为禁用计算器和允许使用计算器两个小节，每道题均已标注。
Q1 EASY 3.1 Chain Rule 3.1 链式法则 No Calculator
If $f(x)=(3x^{2}+1)^{4}$, then $f'(x)=$ 若 $f(x)=(3x^{2}+1)^{4}$，则 $f'(x)=$
(A) $4(3x^{2}+1)^{3}$(B) $24x(3x^{2}+1)^{3}$(C) $6x(3x^{2}+1)^{3}$(D) $4(6x)^{3}$
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Q2 EASY 3.1 Chain (Trig) 3.1 链式法则（三角） No Calculator
$\dfrac{d}{dx}\bigl[\,\sin(4x)\,\bigr]=$
(A) $\cos(4x)$(B) $4\cos(4x)$(C) $-4\cos(4x)$(D) $4x\cos(4x)$
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Q3 EASY 3.1 Chain (Exp) 3.1 链式法则（指数） No Calculator
$\dfrac{d}{dx}\bigl[\,e^{\,x^{2}}\,\bigr]=$
(A) $e^{\,x^{2}}$(B) $2x\,e^{\,x^{2}}$(C) $x^{2}e^{\,x^{2}-1}$(D) $2xe^{2x}$
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Q4 MEDIUM 3.1 Chain (Log) 3.1 链式法则（对数） No Calculator
$\dfrac{d}{dx}\bigl[\ln(x^{2}+3x)\bigr]=$
(A) $\dfrac{1}{x^{2}+3x}$(B) $\dfrac{2x+3}{x^{2}+3x}$(C) $\dfrac{2x+3}{\ln(x^{2}+3x)}$(D) $2x+3$
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Q5 MEDIUM 3.1 Nested Chain 3.1 嵌套链式法则 No Calculator
If $y=\sin^{2}(3x)$, then $\dfrac{dy}{dx}=$ 若 $y=\sin^{2}(3x)$，则 $\dfrac{dy}{dx}=$
(A) $2\sin(3x)$(B) $6\sin(3x)\cos(3x)$(C) $3\sin(3x)\cos(3x)$(D) $2\sin(3x)\cos(3x)$
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Q6 MEDIUM 3.1 Chain (Table) 3.1 链式法则（表格） No Calculator
Selected values of $f$ and $g$: $f$ 和 $g$ 的部分函数值如下：
$x$ $f(x)$ $f'(x)$ $g(x)$ $g'(x)$ $1$ $2$ $5$ $3$ $-2$ $3$ $4$ $-1$ $6$ $2$
If $h(x)=f(g(x))$, then $h'(1)=$ 若 $h(x)=f(g(x))$，则 $h'(1)=$
(A) $-10$(B) $-2$(C) $2$(D) $5$
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Q7 MEDIUM 3.2 Implicit 3.2 隐函数微分 No Calculator
If $x^{2}+y^{2}=25$, then $\dfrac{dy}{dx}=$ 若 $x^{2}+y^{2}=25$，则 $\dfrac{dy}{dx}=$
(A) $-\dfrac{x}{y}$(B) $\dfrac{x}{y}$(C) $-\dfrac{y}{x}$(D) $\dfrac{y-x}{y}$
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Q8 MEDIUM 3.2 Implicit (Mixed) 3.2 隐函数（混合型） No Calculator
If $xy+y^{3}=4$, then $\dfrac{dy}{dx}=$ 若 $xy+y^{3}=4$，则 $\dfrac{dy}{dx}=$
(A) $-\dfrac{y}{x+3y^{2}}$(B) $\dfrac{y}{x-3y^{2}}$(C) $-\dfrac{x}{y+3y^{2}}$(D) $\dfrac{1-y}{x+3y^{2}}$
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Q9 HARD 3.2 Implicit Tangent 3.2 隐函数切线 No Calculator
For the curve $x^{2}+xy+y^{2}=7$, the slope of the tangent line at $(1,2)$ is 曲线 $x^{2}+xy+y^{2}=7$ 在点 $(1,2)$ 处切线的斜率为
(A) $-\dfrac{4}{5}$(B) $-\dfrac{1}{5}$(C) $\dfrac{4}{5}$(D) $-\dfrac{5}{4}$
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Q10 EASY 3.3 Inverse Derivative 3.3 反函数导数 No Calculator
If $f(x)=x^{3}+x+1$, then $(f^{-1})'(1)=$ 若 $f(x)=x^{3}+x+1$，则 $(f^{-1})'(1)=$
(A) $\dfrac{1}{4}$(B) $\dfrac{1}{2}$(C) $1$(D) $4$
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Q11 MEDIUM 3.3 Inverse (Table) 3.3 反函数（表格） No Calculator
Let $f$ be differentiable and one-to-one. Selected values: 设 $f$ 可微且为一一映射，部分函数值如下：
$x$ $1$ $2$ $3$ $f(x)$ $4$ $7$ $10$ $f'(x)$ $2$ $5$ $6$
$(f^{-1})'(7)=$ $(f^{-1})'(7)=$
(A) $\dfrac{1}{2}$(B) $\dfrac{1}{5}$(C) $\dfrac{1}{6}$(D) $5$
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Q12 EASY 3.4 Inverse Trig 3.4 反三角函数 No Calculator
$\dfrac{d}{dx}\bigl[\arctan x\bigr]=$
(A) $\dfrac{1}{1+x^{2}}$(B) $\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$(C) $\dfrac{-1}{1+x^{2}}$(D) $\sec^{2} x$
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Q13 MEDIUM 3.4 Inverse Trig Chain 3.4 反三角链式法则 No Calculator
$\dfrac{d}{dx}\bigl[\arcsin(2x)\bigr]=$
(A) $\dfrac{1}{\sqrt{1-4x^{2}}}$(B) $\dfrac{2}{\sqrt{1-4x^{2}}}$(C) $\dfrac{2}{\sqrt{1-x^{2}}}$(D) $\dfrac{1}{1-4x^{2}}$
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Q14 MEDIUM 3.5 Higher-Order Implicit 3.5 高阶隐函数导数 No Calculator
If $x^{2}+y^{2}=4$, then $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=$ 若 $x^{2}+y^{2}=4$，则 $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=$
(A) $-\dfrac{1}{y}$(B) $-\dfrac{4}{y^{3}}$(C) $\dfrac{x^{2}}{y^{3}}$(D) $-\dfrac{x^{2}+y^{2}}{y^{3}}$
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Q15 MEDIUM 4.4 Related Rates 4.4 相关变化率 Preview of Unit 4 No Calculator
Note: Related Rates is formally CED Topic 4.4 (Unit 4). Included here as a preview because related-rates problems synthesize the chain rule and implicit differentiation from this unit. 注：相关变化率在课程规划中属于考点 4.4（第四单元）。此处作为预习内容收录，因为此类题目综合运用了本单元的链式法则与隐函数微分。
A circle's radius grows at $3$ cm/s. At $r=5$, the rate of change of its area is 某圆的半径以 $3$ cm/s 的速率增大。当 $r=5$ 时，其面积的变化率为
(A) $10\pi$ cm²/s(B) $15\pi$ cm²/s(C) $25\pi$ cm²/s(D) $30\pi$ cm²/s
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Q16 HARD 4.4 Related Rates (Ladder) 4.4 相关变化率（梯子问题） Preview of Unit 4 Calculator
A $13$-ft ladder slides down a wall. When the base is $5$ ft from the wall and moving at $2$ ft/s away, the top is moving at a rate closest to 一把 $13$ 英尺长的梯子靠墙放置并向下滑动。当底部距墙 $5$ 英尺且以 $2$ ft/s 的速率向外移动时，梯子顶端的移动速率最接近
(A) $-0.42$ ft/s(B) $-0.83$ ft/s(C) $-1.67$ ft/s(D) $-2.40$ ft/s
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Q17 HARD 3.2 Horizontal Tangent 3.2 水平切线 No Calculator
The curve $x^{2}-xy+y^{2}=3$ has a horizontal tangent at points where 曲线 $x^{2}-xy+y^{2}=3$ 上水平切线的切点满足
(A) $x=0$(B) $y=2x$(C) $x=2y$(D) $x=y$
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Q18 HARD 3.1 Chain + Product 3.1 链式法则与乘积法则 No Calculator
If $y=x^{2}\sin(\ln x)$, then $\dfrac{dy}{dx}=$ 若 $y=x^{2}\sin(\ln x)$，则 $\dfrac{dy}{dx}=$
(A) $2x\sin(\ln x)+x\cos(\ln x)$(B) $2x\sin(\ln x)+x^{2}\cos(\ln x)\cdot\dfrac{1}{x}$(C) $\sin(\ln x)+\cos(\ln x)$(D) Both (A) and (B) are correct. （A）和（B）均正确。
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This unit 本单元 Study guide 学习指南 →Practice 练习 Solutions 解答 →
PART II Show All Work 展示完整解题过程
Free-Response Questions 自由解答题 Free-response answers require explicit rule statements (chain, implicit, inverse), clear labeling of inner/outer functions, and unit-bearing answers for related-rates problems. 自由解答题需明确写出所用法则（链式法则、隐函数微分、反函数导数），清楚标注内外函数，相关变化率问题须注明单位。
FRQ 1 EASY 3.1 Chain Rule 3.1 链式法则 No Calculator
Differentiate each function. Label inner and outer functions. 对下列各函数求导，并标注内函数和外函数。
(a) $y=(2x^{3}-5x+1)^{6}$
(b) $y=\sqrt{9-x^{2}}$
(c) $y=\cos\!\bigl(e^{2x}\bigr)$
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FRQ 2 MEDIUM 3.2 Implicit Differentiation 3.2 隐函数微分 No Calculator
Consider the curve defined by $x^{2}+2xy+y^{3}=4$. 考虑由 $x^{2}+2xy+y^{3}=4$ 所定义的曲线。
(a) Find $\dfrac{dy}{dx}$ in terms of $x$ and $y$. 用 $x$ 和 $y$ 表示 $\dfrac{dy}{dx}$。
(b) Verify that the point $(2,0)$ lies on the curve, and find the slope of the tangent line there. 验证点 $(2,0)$ 在曲线上，并求该点处切线的斜率。
(c) Write an equation of the tangent line to the curve at $(2,0)$. 写出曲线在点 $(2,0)$ 处的切线方程。
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FRQ 3 MEDIUM 3.3 / 3.4 Inverse Functions 3.3 / 3.4 反函数 No Calculator
Let $f(x)=x^{3}+2x-1$. 设 $f(x)=x^{3}+2x-1$。
(a) Explain why $f$ is one-to-one on $\mathbb{R}$, using $f'$. 利用 $f'$ 解释为何 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上是一一映射。
(b) Compute $f(1)$ and use the inverse-function formula to find $(f^{-1})'(2)$. 计算 $f(1)$，并利用反函数导数公式求 $(f^{-1})'(2)$。
(c) Let $g(x)=\arctan(f(x))$. Find $g'(1)$. 设 $g(x)=\arctan(f(x))$，求 $g'(1)$。
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FRQ 4 HARD 4.4 Related Rates (Cone) 4.4 相关变化率（圆锥体） Preview of Unit 4 Calculator
Water is being poured into a right-circular-cone tank (vertex down) of radius $4$ ft at the top and height $6$ ft, at a rate of $2$ ft³/min. 以 $2$ ft³/min 的速率向一个顶点朝下的正圆锥形水箱中注水，该水箱顶口半径为 $4$ 英尺，高度为 $6$ 英尺。
(a) Express the water volume $V$ in terms of the water's height $h$ alone. Justify using similar triangles. 仅用水的高度 $h$ 表示水的体积 $V$，并用相似三角形加以说明。
(b) At the instant when $h=3$ ft, find $\dfrac{dh}{dt}$. Include units. 当 $h=3$ 英尺时，求 $\dfrac{dh}{dt}$，须注明单位。
(c) Is the water height rising faster when $h=2$ ft or when $h=4$ ft? Justify with the relationship from part (b). 当 $h=2$ 英尺与 $h=4$ 英尺时，哪种情况水位上升更快？用（b）部分的关系式加以说明。
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FRQ 5 HARD 3.1 / 3.2 / 3.5 Second Derivative 3.1 / 3.2 / 3.5 二阶导数 No Calculator
Consider the curve $y^{2}=x^{3}+2x$. 考虑曲线 $y^{2}=x^{3}+2x$。
(a) Find $\dfrac{dy}{dx}$ in terms of $x$ and $y$. 用 $x$ 和 $y$ 表示 $\dfrac{dy}{dx}$。
(b) At the point $(1,\sqrt{3})$ on the curve, find the slope of the tangent line. 在曲线上的点 $(1,\sqrt{3})$ 处，求切线的斜率。
(c) Find $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}$ at the point $(1,\sqrt{3})$. 求曲线在点 $(1,\sqrt{3})$ 处的 $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}$。
(d) Is the curve concave up or concave down at $(1,\sqrt{3})$? Justify. 曲线在点 $(1,\sqrt{3})$ 处是上凸还是下凸？请说明理由。
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